سلسلة دروس Hm فــ العمل المساحي ... الدرس الثاني : المثلثات

**Hassan Mohamed** · 10-22-2009, 09:09 PM

بسم الله الرحمن الرحيم

نستكمل الان مع حضراتكم

سلسلة دروس HM

التي بداناها بالدرس الاول
وكان عنوانة
مقدمة هامة

ورابط الدرس الاول علي المنتدي

اضغط هنا للذهاب للدرس الاول بعنوان مقدمة هامة

ونبدأ الان مع حضراتكم الدرس الثاني

بعنوان

المثلثات

المثلث هو عبارة عن شكل هندسي يتكون من 3 اضلاع و 3 زوايا

والشكل التالي يوضع صورة للمثلث

ومن الشكل السابق نجد ان هناك بالفعل 3 زوايا وهما الزاوية 1 و 2 و 3

وكذلك 3 اضلاع وهما الضلع AB و BC و CA

ويمكن ان نضع اختصار لكل ضلع

فالضلع AB يمكن اختصاره بالحرف c وهو الضلع المقابل للزاوية 3

والضلع BC يمكن اختصاره بالحرف a وهو الضلع المقابل للزاوية 1

والضلع CA يمكن اختصارة بالحرف b وهو الضلع المقابل للزاوية 2

وبالنسبة لزوايا المثلث

نجد ان مجموعة زوايا المثلث = 180 درجة

وذلك في المثلث الهندسي لانها تختلف في المثلث الكروي

اما بالنسبة لاطوال اضلاع المثلثة

نجد ان طول الضلع الواحد اصغر من مجموع الضلعين الاخرين

واكبر من الفرق بينهما

ومثال علي ذلك

اذا افترضنا علي الشكل السابق

ان الضلع AB

= 8 متر

والضلع BC

= 5 متر

اذن

الضلع CA اصغر من مجموع الضلعين السابقين

واكبر من الفرق بينهما

وهذه العملية الحسابية تعتبر كنوع من التحقيق الحسابي علي اطوال الاضلاع في المثلث الواحد

انواع المثلثات

أ- المثلث قائم الزاوية

ويتكون هذا المثلث من 3 زوايا احديهما زواية

قدرها 90 درجة

وزاويتين مجموعها 90 درجة ايضا

ومقدار كل زاوية منفصلة اقل من 90 درجة

والشكل التالي يوضح صورة للمثلث قائم الزاوية

وهو قائم في الزاوية 3

ب- المثلث منفرج الزاوية

وهذا المثلث يتكون من 3 زوايا

احدي تلك الزوايا مقدارها اكبر من 90 درجة وهو يكون منفرج في تلك الزاوية

اما الزاويتين المتبقيتين يكون مقدارهما معا اقل من 90 درجة وايضا مقدار كل زاوية علي حده اقل من 90 درجة

جـ- المثلث حاد الزاوية

ويتكون هذا المثلث من 3 زوايا مقدار كل زاوية اقل من 90 درجة

المثلث متساوي الساقين

والشكل السابق اللي امام حضرتكم ده نموذج للمثلث متساوي الساقين

وده بيكون فيه ضلعين متساوين وهما AB و AC

وكذلك زاويتين متساويتين وهما الزاوية ABC و ACB

واي عمود بين الضلعين المتساوين ينصف الزاوية CAB

ويقسم الضلغ BC إلي ضلعين متساوين

وهما BD و DC

المثلث متساوي الاضلاع

وهذا المثلث يتكون من 3 اضلاع متساوية

و3 زوايا متساوية وكل عمود ساقط من اي زاوية ينصف الضلع المتعامد عليه وينصف الزاوية ايضا

ومركز تقاطع الاعمدة يرمز له بالرمز م ويسمي بمركز الثقل وهي نقطة تلاقي المتوسطات

تطابق المثلثات

ويمكن القول علي مثلثين متطابقين في 3 حالات

والشكل السابق يوضح حالة منهما

وهي وجود زاويتين متساويتين في كل مثلت

وضلعين متساوين

ويمكن توضيح ذلك من الشكل السابق

حيث ان الزاوية ACB = الزاوية 132

والزاوية ABC = الزاوية 123

وكذلك الضلغ AB = الضلع 12

وبالتالي نستطيع القول بان المثلثين السابقين متطابقين

تشابه المثلثات

ومن خلال الشكل السابق يتضح ان تشابه المثلثات يتمثل في وجود 3 زوايا متساوية ولا يشترط تساوي الاضلاع

قوانين حل المثلث

أ- بمعلومية زاويتين وضلع

اذا علم عندنا في المثلث السابق زاويتين وضلع

ونريد حل المثلث وايجاد الزاوية المتبقين والضلعين الناقصين

يمكن حل ذلك من خلال

اولا ايجاد الزاوية المتبقين

من خلال القانون

الزاوية 1 + الزاوية 2 + الزاوية 3 = 180 درجة

وبمعلومية زاويتين نستطيع التعويض في القانون السابق وحل المثلث

ثانيا ايجاد الضلعين الناقصين

وفي هذه الحالة نستخدم قانون لامي لايجاد الزوايا

a÷جا1 = b ÷ جا2 = c ÷ جا3

فمن خلال الشكل السابق اصبح معلوم عندنا الثلاث زوايا

فلنفترض ان قيمة الزاوية 1 = 50 درجة

والزاوية 2 = 70 درجة

والزاوية 3 = 60 درجة

وهناك ضلع معلوم طولة وليكن الضلع a

ويساوي 8 سم

ليجاد الضلعين المتبقين نطبق القانون السابق

a÷جا1 = b ÷ جا2

نعوض في القانون

8 : جا 50

b :جا 70

طرفين في وسطين

نسطيع حساب قيمة الضلع b وقيمته من خلال العملية الحسابية = 9.8 سم

ونطبق نفس الطريقة علي الضلع c

ب- بمعلومية ضلعين وزاوية

وفي هذه الحالة نستخدم
قانون فيثاغورس

ولتطبيقها علي الشكل التالي

وذلك بمعلومية

الزاوية 1 = 60 درجة

والضلع c

= 8 سم

والضلع b

= 5 سم

نستخدم القانون التالي

مربع الضلع a = مربع الضلع b + مربع الضلع c
-
(2 × الضلع b × الضلع c × جتا الزاوية 1 )

تعالو كده نحل المثلث السابق بالقانون ده

مربع الضلع a =

5×5 + 8×8 - 2×5 ×8 × جتا 60

25 + 64 - 40

مربع الضلع a

= 49

اذن طول الضلع a

ناخد جزر مربع الضلع a

اذن قيمة الضلع a

= 7 سم

وقانون فيثاغورس يمكن تطبيقة علي المثلث القائم مع اهمال الجزء الثاني من القانون وهو

(2 × الضلع b × الضلع c × جتا الزاوية 1 )

حيث ان جتا الزاوية القائمة وهي 90 درجة = صفر

وهذا ما يعني ان قيمة الجزء السابق من القانون قيمته = صفر

وبالتالي لا نتعامل إلا مع هذا الجزء

مربع الضلع a = مربع الضلع b + مربع الضلع c

ونطبق هذه الحالة فقط في المثلث القائم

محيط المثلث

محيط اي مثلث = مجموع اطوال اضلاعة

فلو اردنا ايجاد محيط الشكل السابق

والذي يتكون من 3 اضلاع اطوالها هي 8,5,7 سم

اذن محيط الشكل السابق

= 8+5+7 = 20 سم

مساحة المثلث

ويمكن ايجاد مساحة المثلث بطرق مختلفة

القانون الاول

مساحة المثلث = 1/2 القاعدة × الارتفاع

واذا طبقنا هذا القانون علي الشكل التالي

اذا فرضنا ان الارتفاع = 3 سم

والقاعدة = 4 سم

اذن مساحة المثلث

= 1/2 ×3×4

= 6 سم مربع

القانون الثاني

مساحة المثلث = 1/2 حاصل ضرب اي ضلعين × جا الزاوية المحصورية بينهما

ونطبق هذا القانون علي المثلث السابق

ونتعامل ايضا مع الضلعين الذي قمنا بفرضهما

اذن

مساحة المثلث = 1/2 ×3×4× جا 90

وبما ان جا 90 = 1

اذن

مساحة المثلث = 6 سم مربع

القانون الثالث

مساحة المثلث = الجزر التربيعي ل
( s × (s-a×s-b×s-c

حيث s = نصف محيط المثلث

تعالو نطبق الكلام ده علي المثلث القائم الزاوية السابق

بفرض ان اطوال اضلاعه هي 3 . 4 .5

اذن

محيط المثلث = 3 +4+5 = 12 سم

قيمة s

= 6 سم

اذن

مساحة المثلث

= الجزر التربيعي ل

6 × ( 6-5 × 6-4 ×6-3 )

الجزر التربيعي ل

6 × 6

مساحة المثلث

= الجزر التربيعي ل

36

اذن

مساحة المثلث

= 6 سم مربع

وهناك طريقة رابعة لحساب مساحة المثلث نستخدم بها طريقة الاحداثيات

ولكن سوف نقوم بشرحها في الدروس المتقدمة عند الحديث عن الاحداثيات

وفي النهاية يمكن القول ان التعامل مع المثلثات يمثل اهمية كبري في علم المساحة وخاصة في حساب مساحة الاشكال فعند وجود اي تعثر في حساب مساحة اي شكل

نقوم بتقسيمه إلي مثلثات ومن ثم نقوم بحساب مساحة كل مثلث علي حده ثم جمع المساحات وايجاد مساحة الشكل

وبكده نكون وصلنا لنهاية الدرس الثاني

انتظروني ان شاء الله في الدرس الثالث واستكمال لسلسلة الدروس

تحياتي

Hassan Mohamed

**Hassan Mohamed** · 10-22-2009, 09:53 PM

بتمني في النهاية ان الدرس يكون نال اعجابكم ان شاء الله

واللي حابب يحمل الدرس علي ملف ورود

يتفضل من هنا

اضغط هنا لتحميل الدرس الثاني

باسورد فك ضغط الملف

Hassan Mohamed

**Mahmoud Slem** · 10-22-2009, 10:24 PM

جزاك الله كل خير يابو على
بجد موضوع جميل واهو تزكره للى عارف وتعلم للى ميعرفش
جلعه الله فى ميزان حسناتك

**Marwa Magdy** · 10-22-2009, 10:47 PM

الله ينور يا ابو على

**Hassan Mohamed** · 10-22-2009, 11:10 PM

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة Mahmoud Slem

جزاك الله كل خير يابو على

بجد موضوع جميل واهو تزكره للى عارف وتعلم للى ميعرفش
جلعه الله فى ميزان حسناتك

ربنا يخليك يا حودة

**Hassan Mohamed** · 10-22-2009, 11:11 PM

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة Marwa Magdy

الله ينور يا ابو على

ده نورك يا ميروة

**محمد الفرارجي** · 10-23-2009, 02:03 AM

ما شاء الله يا حسن مجهود تستحق عليه الشكر.

ومنتظرين البقية حتى يدمجوا في مقالة واحدة حتى تعم الفائدة
ولكن....

أخشى أن تفرط في الجانب النظري فيصبح كباقي مقالات وموضوعات كتب المكتبة العربية والمترجمة في هندسة المساحةوالعمل المساحي.

فأرجو منك أن تحاول قدر استطاعتك أن تدمج بين ما تقوم به من جهد مشكور وبذل كبير لنا جميعا كأعضاء ومستفيدين من هذا المنتدى. أن تدمج بين الشق النظري والشق العملي.

منتظرين البقية إن شاء الله يا أبو علي

شكرا جدا ليك